Uma das maneiras mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de um portfólio, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável para um portfólio dado um intervalo de confiança em um horizonte temporal especificado - sempre precisamos especificar dois Condições para VaR: confiança e horizonte. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites de Volatilidade e Introdução ao Valor em Risco (VAR) - Parte 1 e Parte 2 .)

Neste artigo, analisaremos um MCS básico aplicado a um preço de ações. Precisamos de um modelo para especificar o comportamento do preço das ações e usaremos um dos modelos mais comuns em finanças: o movimento geométrico Browniano (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de diferentes abordagens de simulação, começaremos aqui com os mais básicos.

Por onde começar Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de "ensaios aleatórios" produzem uma distribuição de resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são:

1. Especifique um modelo (por exemplo, movimento geométrico browniano)
2. Gerar ensaios aleatórios
3. Processe a saída

1. Especifique um Modelo (por exemplo, GBM)
Neste artigo, usaremos o movimento geométrico Browniano (GBM), que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço das ações segue uma caminhada aleatória e é consistente com (pelo menos) a forma fraca da hipótese de mercado eficiente (EMH): a informação de preços passados ​​já está incorporada e o próximo movimento de preços é "condicionalmente independente" do passado movimentos de preços. (Para mais informações sobre EMH, leia Trabalhando através da Hipótese do Mercado Eficaz e O que é a Eficiência do Mercado? )

A fórmula para GBM é encontrada abaixo, onde "S" é o preço das ações, "m" (o M grego) é o retorno esperado, "s" (sigma grego) é o desvio padrão de retorno, "t" é o tempo, e "e" (epsilon grego) é a variável aleatória:

Se reorganizarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz a variação no preço da ação é o preço das ações "S" multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo:

O primeiro termo é uma "deriva" e o segundo termo é um "choque". Para cada período de tempo, nosso modelo assume que o preço irá "drift" até o retorno esperado. Mas a deriva ficará chocada (adicionada ou subtraída) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão "s" multiplicado por um número aleatório "e". Esta é simplesmente uma maneira de dimensionar o desvio padrão.

Essa é a essência do GBM, como ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada passo é uma deriva mais / menos um choque aleatório (em si mesmo uma função do desvio padrão do estoque): > Figura 1

2.Gerar ensaios aleatórios

Armados com uma especificação do modelo, então procedemos a ensaios aleatórios. Para ilustrar, utilizamos o Microsoft Excel para executar 40 testes. Tenha em mente que esta é uma amostra pouco realista; A maioria das simulações ou "sims" executam pelo menos vários milhares de tentativas. Neste caso, vamos assumir que o estoque começa no dia zero com um preço de US $ 10. Aqui está um gráfico do resultado onde cada etapa do tempo (ou intervalo) é um dia e a série é executada por dez dias (em resumo: quarenta ensaios com etapas diárias durante dez dias):

Figura 2: Movimento browniano geométrico > O resultado é de quarenta preços simulados de ações no final de 10 dias. Nada aconteceu para cair abaixo de US $ 9, e um está acima de US $ 11.

3. Processo da saída

A simulação produziu uma distribuição de resultados futuros hipotéticos. Podemos fazer várias coisas com o resultado. Se, por exemplo, queremos estimar VaR com 95% de confiança, então precisamos apenas localizar o resultado do trinta oitavo lugar (o terceiro pior resultado). Isso porque 2/40 é igual a 5%, então os dois piores resultados estão nos 5% mais baixos.

Se nós empilharmos os resultados ilustrados em caixas (cada lixeira é um terço de US $ 1, então três compartimentos cobrem o intervalo de US $ 9 a US $ 10), obteremos o seguinte histograma: Figura 3

Lembre-se que o nosso modelo GBM assume a normalidade: os rendimentos de preços são normalmente distribuídos com retorno esperado (média) "m" e desvio padrão "s". Curiosamente, nosso histograma não parece normal. Na verdade, com mais provações, isso não tenderá para a normalidade. Em vez disso, tenderá a uma distribuição lognormal: uma queda acentuada para a esquerda da média e uma "cauda longa" altamente distorcida à direita da média. Isso muitas vezes leva a uma dinâmica potencialmente confusa para alunos da primeira vez:

Preço

retorna

• são normalmente distribuídos. Preço níveis
• são log-normalmente distribuídos. Pense nisso desta forma: um estoque pode retornar para cima ou para baixo 5% ou 10%, mas após um certo período de tempo, o preço das ações não pode ser negativo. Além disso, os aumentos de preços no lado positivo têm um efeito de composição, enquanto o preço diminui na desvantagem reduz a base: perca 10% e você fica com menos para perder na próxima vez. Aqui está um gráfico da distribuição lognormal superposta em nossos pressupostos ilustrados (por exemplo, preço inicial de US $ 10): Figura 4

Resumo

Uma simulação de Monte Carlo aplica um modelo selecionado (um modelo que especifica o comportamento de um instrumento) para um grande conjunto de testes aleatórios na tentativa de produzir um conjunto plausível de possíveis resultados futuros. No que diz respeito à simulação dos preços das ações, o modelo mais comum é o movimento geométrico browniano (GBM). GBM assume que uma deriva constante é acompanhada por choques aleatórios. Enquanto os retornos do período sob GBM são normalmente distribuídos, os níveis de preços subseqüentes de vários períodos (por exemplo, dez dias) são distribuídos de maneira lognormal.

Confira o tutorial de filmes de David Harper, Monte Carlo Simulation with Geometric Brownian Motion

, para saber mais sobre este tópico.