A Distribuição Normal (Bell Curve)

Conjuntos de dados (como altura de 100 humanos, marcas obtidas por 45 pupilas em uma classe, etc.) tendem a ter muitos valores no mesmo ponto de dados ou dentro do mesmo intervalo. Esta distribuição de pontos de dados é chamada de distribuição de curva normal ou de sino. Por exemplo, em um grupo de 100 indivíduos, 10 podem ser inferiores a 5 pés de altura, 65 podem ficar entre 5 e 5. 5 pés e 25 podem estar acima de 5. 5 pés. Essa distribuição limitada pode ser plotada da seguinte forma:

Da mesma forma, os pontos de dados plotados em gráficos para qualquer dado conjunto de dados podem parecer diferentes tipos de distribuições. Três das versões mais comuns são alinhadas, alinhadas à direita e desordenadas:

Observe a linha de tendência vermelha em cada um desses gráficos. Isso indica grosseiramente a tendência da distribuição de dados. O primeiro, "LEFT Aligned Distribution", indica que a maioria dos pontos de dados cai no intervalo mais baixo. No segundo gráfico "RIGHT Aligned Distribution", a maioria dos pontos de dados caem no extremo superior do intervalo, enquanto o último, "Jumbled Distribution", representa um conjunto de dados misto sem qualquer tendência clara.

Há muitos casos em que a distribuição de pontos de dados tende a ser em torno de um valor central e esse gráfico mostra uma distribuição normal perfeita, igualmente equilibrada em ambos os lados com o maior número de pontos de dados concentrado no centro.

Aqui está um conjunto de dados perfeito, normalmente distribuído.

O valor central aqui é 50, que tem o maior número de pontos de dados, e a distribuição se afasta uniformemente em relação aos valores extremos extremos de 0 e 100, que possuem o menor número de pontos de dados. A distribuição normal é simétrica em torno do valor central com metade dos valores em cada lado.

Muitos exemplos da vida real se encaixam na distribuição da curva do sino:

• Aponte uma moeda justa muitas vezes (diga 100 vezes ou mais) e você obterá uma distribuição normal equilibrada de cabeças e caudas.
• Rolar um par de dados justos muitas vezes (digamos 100 vezes ou mais) e o resultado será uma distribuição normal equilibrada centrada em torno do número 7 e uniformemente diminuindo em direção aos valores extremos de 2 e 12.
• O altura de indivíduos em um grupo de tamanho considerável e marcas obtidas por pessoas em uma classe ambos seguem padrões de distribuição normais.
• Em finanças, as mudanças nos valores de registrodas taxas Forex, índices de preços e preços das ações são assumidas como sendo normalmente distribuídas.

Relação para Finanças e Investimentos

Qualquer investimento tem dois aspectos: risco e retorno. Os investidores procuram o menor risco possível para o maior retorno possível. A distribuição normal quantifica esses dois aspectos pela média de retornos e desvio padrão de risco.(Para mais, veja: Análise da diferença média .)

Média ou Valor esperado

A variação média do preço de uma ação específica pode ser de 1. 5% diariamente - o que significa que, em média, ele aumenta em 1. 5%. Este valor médio ou valor esperado que indica o retorno pode ser alcançado calculando a média em um conjunto de dados suficientemente grande contendo as variações históricas de preços diárias desse estoque. Quanto maior a média, melhor.

Desvio padrão

Desvio padrão indica a quantidade pela qual os valores se desviam em média da média. Quanto maior o desvio padrão, mais arriscado o investimento, pois leva a mais incerteza.

Aqui está uma representação gráfica do mesmo:

Portanto, a representação gráfica da distribuição normal por meio de sua média e desvio padrão, permite a representação de retornos e riscos dentro de um intervalo claramente definido.

Ele ajuda a saber (e ter certeza com certeza) que, se algum conjunto de dados segue o padrão de distribuição normal, seu significado nos permitirá saber o que retorna e seu desvio padrão nos permitirá saber que cerca de 68% dos os valores serão dentro de 1 desvio padrão, 95% dentro de 2 desvios padrão e 99% dos valores cairão dentro de 3 desvios padrão. Um conjunto de dados que tem uma média de 1. 5 e desvio padrão de 1 é muito mais arriscado do que outro conjunto de dados com média de 1. 5 e desvio padrão de 0. 1.

Conhecendo esses valores para cada bem selecionado (isto é, ações, títulos e fundos) fará um investidor ciente dos retornos e riscos esperados.

É fácil aplicar esse conceito e representar o risco e o retorno de uma única ação, ação ou fundo, mas isso pode ser estendido a um portfólio de ativos múltiplos?

As pessoas começam a negociar comprando uma única ação ou vínculo, ou investindo em um fundo mútuo. Gradualmente, eles tendem a aumentar suas participações e a comprar ações múltiplas, fundos ou outros ativos, criando assim um portfólio. Neste cenário incremental, os indivíduos constroem suas carteiras sem uma estratégia ou muito previsões. Gerentes de fundos profissionais, comerciantes e criadores de mercado seguem um método sistemático para construir seu portfólio usando uma abordagem matemática chamada teoria de portfólio moderna (MPT) que se baseia no conceito de "distribuição normal". "

Teoria da carteira moderna

A teoria moderna do portfólio oferece uma abordagem matemática sistemática que visa maximizar o retorno esperado de um portfólio para uma determinada quantidade de risco de portfólio, selecionando as proporções de vários ativos. Alternativamente, também oferece minimizar riscos para um determinado nível de retorno esperado.

Para atingir esse objetivo, os ativos a serem incluídos na carteira não devem ser selecionados apenas com base em seu próprio mérito individual, mas sim sobre como cada ativo será realizado em relação aos demais ativos da carteira.

Em poucas palavras, o MPT define como alcançar melhor a diversificação de portfólio para obter os melhores resultados possíveis: rendimentos máximos para um nível aceitável de risco ou risco mínimo para o nível de retorno desejado.

The Building Blocks

O MPT foi um conceito tão revolucionário quando foi introduzido que seus inventores ganharam um Prêmio Nobre. Esta teoria forneceu com sucesso uma fórmula matemática para orientar a diversificação no investimento.

A diversificação é uma técnica de gerenciamento de riscos, que remove o risco de "todos os ovos em uma cesta" investindo em ações, setores ou classes de ativos não correlacionados. Idealmente, o desempenho positivo de um ativo na carteira irá cancelar o desempenho negativo de outros ativos.

Para obter o retorno médio do portfólio que possui n ativos diferentes, a combinação ponderada pela proporção dos retornos dos ativos constituintes é calculada. Devido à natureza dos cálculos estatísticos e à distribuição normal, o retorno global da carteira (R _p ) é calculado como:

a soma (Σ) onde w _i é o peso proporcional de Ativo i no portfólio, R _i é o retorno (médio) do ativo i.

O risco de carteira (ou desvio padrão) é uma função das correlações dos ativos incluídos, para todos os pares de ativos (em relação ao outro no par). Devido à natureza dos cálculos estatísticos e à distribuição normal, o risco global do portfólio (Std-dev) _p é calculado como:

em que cor-cof é o coeficiente de correlação entre os retornos dos ativos i e j, e sqrt é a raiz quadrada.

Isso cuida do desempenho relativo de cada ativo em relação ao outro.

Embora aparente matematicamente complexo, o conceito simples aqui aplicado inclui não apenas os desvios-padrão dos ativos individuais, mas também os relacionados em relação uns aos outros.

Um bom exemplo está disponível aqui na Universidade de Washington.

Um exemplo rápido

Como um experimento de pensamento, vamos imaginar que somos um gerente de portfólio que recebeu capital e está encarregado de quanto capital deve ser alocado para dois ativos disponíveis (A & B), de modo que esperado O retorno é máximo e o risco é menor.

Nós também temos os seguintes valores disponíveis:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(Std-dev) < a _{= 0. 258} (Std-dev)

b _{= 0. 115} (Std-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Começando com alocação igual a 50-50 para cada ativo A & B, o R

p _{calcula para 0. 115 e (Std-dev)} p _{chega a 0. 1323 . Uma comparação simples nos diz que, para esta carteira de ativos 2, o retorno e o risco estão a meio caminho entre os valores individuais de cada ativo.} No entanto, nosso objetivo é melhorar o retorno do portfólio além da mera média de ativos individuais e reduzir o risco, de modo que seja menor que o dos ativos individuais.

Vamos agora assumir uma posição de alocação de capital de 1 5 no ativo A, e um -0. 5 Posição de alocação de capital no activo B. (A alocação de capital negativa significa curto-circuito do estoque e do capital recebido em usado para comprar o excedente de outros ativos com alocação de capital positiva. Em outras palavras, estamos reduzindo o estoque B para 0.5 vezes do capital e usando esse dinheiro para comprar o estoque A pelo valor 1. 5 vezes do capital.)

Usando esses valores, obtemos R

p _{como 0. 1604 e (Std-dev) < p} como 0. 4005. _{Da mesma forma, podemos continuar a usar pesos de alocação diferentes para ativos A e B e chegar a diferentes conjuntos de Rp e (Std-dev) p. De acordo com o retorno desejado (Rp), pode-se escolher o melhor nível de risco aceitável (std-dev) p. Alternativamente, para um nível de risco desejado, pode-se selecionar o melhor retorno de carteira disponível. De qualquer forma, através deste modelo matemático de Portfolio Theory, é possível atingir o objetivo de criar um portfólio eficiente com a combinação desejada de risco e retorno.} O uso de ferramentas automatizadas permite detectar facilmente e facilmente as melhores proporções alocadas possíveis, sem necessidade de cálculos manuais longos.

A fronteira eficiente, o Modelo de Preços de Ativos de Capital (CAPM) e o preço de ativos usando o MPT também evoluem do mesmo modelo de distribuição normal e são uma extensão do MPT.

Os desafios para o MPT (e a distribuição normal subjacente):

Infelizmente, nenhum modelo matemático é perfeito e cada um possui inadequações e limitações.

A suposição básica de que os retornos dos preços das ações seguem a distribuição normal em si é questionada uma e outra vez. Existe uma prova empírica suficiente de casos em que os valores não aderem à distribuição normal assumida. Basando modelos complexos sobre tais pressupostos pode levar a resultados com grandes desvios.

Mais adiante no MPT, os cálculos e os pressupostos sobre coeficiente de correlação e covariância remanescentes (com base em dados históricos) podem não ser necessariamente válidos para os futuros valores esperados. Por exemplo, os mercados de títulos e ações mostraram uma correlação perfeita no mercado do Reino Unido durante o período de 2001 a 2004, onde os retornos de ambos os ativos diminuíram simultaneamente. Na realidade, o inverso foi observado em longos períodos históricos anteriores a 2001.

O comportamento do investidor não é levado em consideração neste modelo matemático. Os impostos e os custos de transação são negligenciados, mesmo que a alocação de capital fracionada e a possibilidade de curto prazo sejam assumidas.

Na realidade, nenhuma dessas premissas pode ser verdadeira, o que significa que os retornos financeiros realizados podem diferir significativamente dos lucros esperados.

A linha inferior:

Os modelos matemáticos fornecem um bom mecanismo para quantificar algumas variáveis ​​com números únicos e rastreáveis. Mas devido às limitações de suposições, os modelos podem falhar. A Distribuição Normal, que constitui a base da Teoria da Carteira, pode não se aplicar necessariamente às ações e outros padrões de preços dos ativos financeiros. A Teoria do portfólio em si tem muitos pressupostos que devem ser examinados criticamente, antes de tomar importantes decisões financeiras.