A volatilidade é a medida de risco mais comum, mas vem em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, veja Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro .) Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA).

Vendas históricas. Volatilidade implícita

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Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é um prólogo; medimos a história com a esperança de que seja preditivo. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora o histórico; resolve a volatilidade implícita nos preços do mercado. Espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que de forma implícita, uma estimativa consensual da volatilidade.

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Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), eles têm dois passos em comum:

1. Calcular a série de retornos periódicos
2. Aplicar um esquema de ponderação > AD:

Primeiro, calculamos o retorno periódico. Isso geralmente é uma série de retornos diários onde cada retorno é expresso em termos compostos continuamente. Para cada dia, tomamos o log natural da proporção de preços das ações (i. E., Preço hoje dividido por preço ontem, e assim por diante).

Isso produz uma série de retornos diários, de

i _para i-m _{, dependendo de quantos dias (m = dias) estamos medindo.} Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior, mostramos que, sob um par de simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados:

Observe que isso suporta cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pelo número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos quadrados. Dito de outra forma, cada retorno ao quadrado recebe um peso igual. Então, se alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, a = 1 / m), então uma variância simples parece algo assim:

O EWMA melhora a variação simples

A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos Ganhe o mesmo peso. O retorno de Yesterday (muito recente) não tem mais influência na variação do que o retorno do mês passado. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância.
A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) apresenta lambda, que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma:

Por exemplo, RiskMetrics

TM ^{, _{uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar uma lambda de 0.94, ou 94%. Nesse caso, o primeiro (mais recente) retorno periódico quadrado é ponderado por (1-0. 94) (. 94)}} 0 ^{= 6%. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior; neste caso 6% multiplicado por 94% = 5% 64%. E o peso do terceiro dia anterior é igual (1-0. 94) (0. 94)} 2 ^{= 5 30%.} Esse é o significado de "exponencial" no EWMA: cada peso é um multiplicador constante (i. E. Lambda, que deve ser inferior a um) do peso do dia anterior. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade do Google.) A diferença entre a simples volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo.

A volatilidade simples efetivamente pesa cada retorno periódico em 0. 196% como mostrado na coluna O (tivemos dois anos de dados diários de preço de ações. Isso é 509 rendimentos diários e 1/509 = 0. 196%). Mas observe que a Coluna P atribui um peso de 6%, depois 5. 64%, depois 5. 3% e assim por diante. Essa é a única diferença entre variância simples e EWMA.

Lembre-se: depois de somar a série inteira (na Coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar de assumir a raiz quadrada dessa variância.

Qual a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso do Google? É significativo: a variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2. 4%, mas o EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1. 4% (veja a planilha para obter detalhes). Aparentemente, a volatilidade do Google se estabeleceu mais recentemente; portanto, uma variância simples pode ser artificialmente alta.

A variância de hoje é uma função da variância do dia anterior

Você notará que precisávamos calcular uma série longa de pesos exponencialmente decrescentes. Não vamos fazer a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que toda a série se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva:

Recursivo significa que as referências de variância de hoje (ou seja, é uma função da variância do dia anterior) . Você também pode encontrar esta fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo longo. Diz: a variância de hoje (sob EWMA) é igual a variância de ontem (ponderada por lambda) mais o retorno quadrado de ontem (pesado por menos a lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos juntos: variância ponderada de ontem e retorno ponderado e quadrado de ontem.

Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como 94% de RiskMetric) indica decadência mais lenta na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles vão "cair" mais devagar. Por outro lado, se reduzirmos a lambda, indicamos maior deterioração: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida deterioração, são usados ​​menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade).

Resumo

A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de uma ação e a métrica de risco mais comum.É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variância historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variância simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples ao atribuir pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes.