A volatilidade é a medida de risco mais comum, mas vem em vários sabores. Em um artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, veja Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro .) Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA).

Vendas históricas. Volatilidade implícita

Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens amplas: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é um prólogo; medimos a história com a esperança de que seja preditivo. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora o histórico; resolve a volatilidade implícita nos preços do mercado. Espera que o mercado conheça melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que de forma implícita, uma estimativa consensual da volatilidade.

Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), eles têm dois passos em comum:

1. Calcular a série de retornos periódicos
2. Aplicar um esquema de ponderação >

Primeiro, calculamos o retorno periódico. Isso geralmente é uma série de retornos diários onde cada retorno é expresso em termos compostos continuamente. Para cada dia, tomamos o log natural da proporção de preços das ações (i. E., Preço hoje dividido por preço ontem, e assim por diante).

Isso produz uma série de retornos diários, de

i _para i-m _{, dependendo de quantos dias (m = dias) estamos medindo.} Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior, mostramos que, sob um par de simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados:

Observe que isso suporta cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pelo número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos quadrados. Dito de outra forma, cada retorno ao quadrado recebe um peso igual. Então, se alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, a = 1 / m), então uma variância simples parece algo assim:

O EWMA melhora a variação simples

A fraqueza dessa abordagem é que todos os retornos Ganhe o mesmo peso. O retorno de Yesterday (muito recente) não tem mais influência na variação do que o retorno do mês passado. Esse problema é corrigido usando a média móvel ponderada exponencialmente (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância.
A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) apresenta lambda, que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma:

Por exemplo, RiskMetrics

TM ^{, _{uma empresa de gerenciamento de risco financeiro, tende a usar uma lambda de 0.94, ou 94%. Nesse caso, o primeiro (mais recente) retorno periódico quadrado é ponderado por (1-0. 94) (. 94)}} 0 ^{= 6%. O próximo retorno ao quadrado é simplesmente um múltiplo lambda do peso anterior; neste caso 6% multiplicado por 94% = 5% 64%. E o peso do terceiro dia anterior é igual (1-0. 94) (0. 94)} 2 ^{= 5 30%.} Esse é o significado de "exponencial" no EWMA: cada peso é um multiplicador constante (i. E. Lambda, que deve ser inferior a um) do peso do dia anterior. Isso garante uma variação ponderada ou tendenciosa em relação a dados mais recentes. (Para saber mais, confira a Planilha do Excel para a Volatilidade do Google.) A diferença entre a simples volatilidade e o EWMA para o Google é mostrada abaixo.

A volatilidade simples efetivamente pesa cada retorno periódico em 0. 196% como mostrado na coluna O (tivemos dois anos de dados diários de preço de ações. Isso é 509 rendimentos diários e 1/509 = 0. 196%). Mas observe que a Coluna P atribui um peso de 6%, depois 5. 64%, depois 5. 3% e assim por diante. Essa é a única diferença entre variância simples e EWMA.

Lembre-se: depois de somar a série inteira (na Coluna Q), temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos volatilidade, precisamos lembrar de assumir a raiz quadrada dessa variância.

Qual a diferença na volatilidade diária entre a variância e EWMA no caso do Google? É significativo: a variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2. 4%, mas o EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1. 4% (veja a planilha para obter detalhes). Aparentemente, a volatilidade do Google se estabeleceu mais recentemente; portanto, uma variância simples pode ser artificialmente alta.

A variância de hoje é uma função da variância do dia anterior

Você notará que precisávamos calcular uma série longa de pesos exponencialmente decrescentes. Não vamos fazer a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que toda a série se reduz convenientemente a uma fórmula recursiva:

Recursivo significa que as referências de variância de hoje (ou seja, é uma função da variância do dia anterior) . Você também pode encontrar esta fórmula na planilha e produz exatamente o mesmo resultado que o cálculo longo. Diz: a variância de hoje (sob EWMA) é igual a variância de ontem (ponderada por lambda) mais o retorno quadrado de ontem (pesado por menos a lambda). Observe como estamos apenas adicionando dois termos juntos: variância ponderada de ontem e retorno ponderado e quadrado de ontem.

Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como 94% de RiskMetric) indica decadência mais lenta na série - em termos relativos, teremos mais pontos de dados na série e eles vão "cair" mais devagar. Por outro lado, se reduzirmos a lambda, indicamos maior deterioração: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida deterioração, são usados ​​menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar sua sensibilidade).

Resumo

A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de uma ação e a métrica de risco mais comum.É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variância historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variância simples é que todos os retornos recebem o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo será diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) melhora a variação simples ao atribuir pesos aos retornos periódicos. Ao fazer isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso aos retornos mais recentes.