O valor dos ativos financeiros varia em uma base diária. Os investidores precisam de um indicador para quantificar esses movimentos que muitas vezes são difíceis de prever. A oferta e a demanda são os dois principais fatores que afetam as mudanças nos preços dos ativos. Em contrapartida, os movimentos de preços refletem uma amplitude de flutuações que são as causas dos lucros e perdas proporcionais. Do ponto de vista de um investidor, a incerteza em torno de tais influências e flutuações é chamada de risco.

O preço de uma opção depende da sua capacidade subjacente de se mover ou não, ou, em outras palavras, sua capacidade de ser volátil. Quanto mais provável é mover-se, mais caro o seu prémio estará mais próximo do vencimento. Assim, o cálculo de quão volátil é um bem subjacente para entender como baixar as derivadas sobre esses ativos.

I - Medindo a Variação do Ativo

Uma maneira de medir a variação de um ativo seria quantificar os rendimentos diários (percentagem em movimento diário) do ativo. Isso nos leva a definir e discutir o conceito de volatilidade histórica.

II - Definição

A volatilidade histórica baseia-se nos preços históricos e representa o grau de variabilidade nos retornos de um bem. Este número está sem uma unidade e é expresso como uma porcentagem. (Para mais, veja: O que a volatilidade realmente significa .)

III - Computação da volatilidade histórica

Se chamamos P (t), o preço de um ativo financeiro (ativo cambial, ações , par de divisas, etc.) no tempo t e P (t-1) o preço do ativo financeiro em t-1, definimos o retorno diário r (t) do ativo no tempo t por:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1)) com Ln (x) = função de logaritmo natural.

O retorno total R no tempo t é assim:

R = r1 + r2 + r3 + 2 + … + rt-1 + rt que é equivalente a:

R = Ln (P1 / P0) + … Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)

Temos a seguinte igualdade:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b) > Então, isto dá:

R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) * … (Pt / Pt-1]

R = Ln [(P1. P2 … Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2 … Pt-2. Pt-1)]

E após a simplificação, obtemos R = Ln (Pt / P0).

O rendimento geralmente é calculado como a diferença de mudanças de preços relativos . Isto significa que se um activo tiver um preço de P (t) no tempo t e P (t + h) no tempo t + h> t, r o retorno é:

< r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] - 1

Quando o retorno r é pequeno, como apenas alguns por cento, temos:

r ≈ Ln (1 + r)

Podemos substituir r com o logaritmo do preço atual desde:

r ≈ Ln (1 + r)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))

r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

De uma série de fechamentos preços, por exemplo, basta levar o logaritmo da razão de dois preços consecutivos para calcular os retornos diários r (t).

Assim, também é possível calcular o retorno total R usando apenas os preços inicial e final.

▪ Volatilidade Anualizada

Para apreciar plenamente as diferentes volatilidades ao longo de um período de um ano, multiplicamos essa volatilidade obtida acima por um fator que explica a variabilidade dos ativos por um ano.

Para fazer isso, usamos a variância. A variância é o quadrado do desvio da média dos retornos diários de um dia.

Para calcular o número quadrado dos desvios da média dos retornos diários durante 365 dias, multiplicaremos a variância pelo número de dias (365). O desvio padrão anualizado é encontrado tomando a raiz quadrada do resultado:

Variance = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]

Para a variância anualizada, se se supuser que o ano é 365 dias e todos os dias tem a mesma variação diária σ² diariamente, obtemos:

Variação Anualizada = 365. σ²daily

Variação Anualizada = 365. [Σ (r (t)) ² / (n - 1) ]

Finalmente, como a volatilidade é definida como a raiz quadrada da variância:
Volatilidade = √ (variância anualizada)

Volatilidade = √ (365. Σ² diariamente)

Volatilidade = √ (365 [Σ ( R (t)) ² / (n - 1)].)

Simulação

■ Os dados

Simulamos a partir da função Excel =

RANDBETWEEN

um preço de estoque que varia diariamente entre 94 e 104. Resultando em: ■ Computando os Retornos diários

Na coluna E, entramos "Ln (P (t) / P (t-1))."

■ Computação do Square of Daily Returns

Na coluna G, entramos "(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2."

■ Computação da Variância Diária

Para calcular o variância, obtemos a soma dos quadrados obtidos e divididos pelo (número de dias -1). Então:

- Na célula F25 obtemos "= soma (F6: F19)."

- Na célula F26 é calculada "= F25 / 18", uma vez que temos 19-1 pontos de dados a serem dados para este cálculo.

■

Computação do desvio padrão diário

Para calcular o desvio padrão diariamente, precisamos calcular a raiz quadrada da variância diária. Então: - Na célula F28 é calculada "= Square. Root (F26)."

- Na célula G29 F28 é mostrada como uma porcentagem.

■ Computação da Variância Anualizada

Para calcular a variância anualizada da variância diária, presume-se que cada dia tenha a mesma variância, e multiplicamos a variância diária por 365 com fins de semana incluídos. Então:

- Na célula F30 temos "= F26 * 365."

■ Computação do Desvio Padrão Anualizado

Para calcular o desvio padrão anualizado, precisamos apenas calcular a raiz quadrada da variância anualizada . Então:

- Na célula F32, obtemos "= ROOT (F30)."

- Na célula G33 F32 é mostrado como uma porcentagem.

Esta raiz quadrada da variância anualizada nos dá a volatilidade histórica.