Em algum momento da sua vida, você deve ter feito uma série de pagamentos fixos durante um período de tempo - como pagamentos de aluguel ou de automóveis - ou recebeu uma série de pagamentos ao longo de um período de tempo, como cupons de títulos. Estes são chamados anuidades. Se você entender o valor do tempo do dinheiro, você está pronto para aprender sobre anuidades e como seus valores presentes e futuros são calculados.

O que são anuidades?

As anuidades são essencialmente uma série de pagamentos fixos exigidos de você, ou pagos a você, a uma determinada freqüência ao longo de um período de tempo fixo. As frequências de pagamento mais comuns são anualmente, semestralmente (duas vezes por ano), trimestralmente e mensalmente. Existem dois tipos básicos de anuidades: anuidades e rendas ordinárias devidas.

• Anuidade ordinária: os pagamentos são exigidos no final de cada período. Por exemplo, os títulos diretos geralmente pagam pagamentos de cupom no final de cada seis meses até a data de vencimento do vínculo.
• Anuidade devida: os pagamentos são necessários no início de cada período. O aluguel é um exemplo de anuidade devida. Você geralmente é obrigado a pagar aluguel quando você se muda no início do mês, e depois no primeiro de cada mês depois.

Uma vez que os cálculos do valor presente e futuro das anuidades ordinárias - e as rendas devidas são ligeiramente diferentes -, discutiremos primeiro o cálculo do valor presente e futuro para as anuidades ordinárias.

Cálculo do valor futuro de uma anuidade ordinária

Se você sabe o quanto você pode investir por período por um determinado período de tempo, o valor futuro (FV) de uma fórmula de renda anual é útil para descobrir o quanto você faria no futuro, investindo em sua taxa de juros dada. Se você está fazendo pagamentos em um empréstimo, o valor futuro é útil na determinação do custo total do empréstimo.

Passemos agora pelo Exemplo 1. Considere o seguinte cronograma de fluxo de caixa de anuidades:

Para calcular o valor futuro da anuidade, devemos calcular o valor futuro de cada fluxo de caixa. Vamos assumir que você está recebendo US $ 1 000 por ano nos próximos cinco anos, e você investiu cada pagamento em 5%. O seguinte diagrama mostra o quanto você teria no final do período de cinco anos:

Como devemos adicionar o valor futuro de cada pagamento, você pode ter percebido que, se você tiver uma anuidade ordinária com muitos fluxos de caixa, demoraria muito tempo calcular todos os valores futuros e depois adicioná-los. Felizmente, a matemática fornece uma fórmula que serve como atalho para encontrar o valor acumulado de todos os fluxos de caixa recebidos de uma anuidade ordinária:

em que C = fluxo de caixa por período i = taxa de juros n = número de pagamentos

Usando a fórmula acima para o Exemplo 1 acima, este é o resultado:

= $ 1000 * [5.53] = $ 5525. 63

Observe que a diferença de 1 centavo entre US $ 5, 525. 64 e US $ 5, 525. 63 é devido a um erro de arredondamento no primeiro cálculo. Cada valor do primeiro cálculo deve ser arredondado para o centavo mais próximo - quanto mais você tiver que arredondar números em um cálculo, os erros de arredondamento mais prováveis ​​ocorrerão. Assim, a fórmula acima não fornece apenas um atalho para encontrar o FV de uma renda anual, mas também dá um resultado mais preciso.

Cálculo do valor presente de uma anuidade ordinária

Se você deseja determinar o valor de hoje de uma série de pagamentos futuros, você precisa usar a fórmula que calcula o valor presente (PV) de uma anuidade ordinária. Esta é a fórmula que você usaria como parte de um cálculo de preços de títulos. O PV de uma anuidade ordinária calcula o valor presente dos pagamentos de cupom que você receberá no futuro.

Para o Exemplo 2, usaremos o mesmo cronograma de fluxo de caixa de anuidade como fizemos no Exemplo 1. Para obter o valor total descontado, precisamos tomar o valor presente de cada pagamento futuro e, como fizemos no Exemplo 1 , adicione os fluxos de caixa juntos.

Novamente, calcular e adicionar todos esses valores levará uma quantidade considerável de tempo, especialmente se esperarmos muitos pagamentos futuros. Como tal, podemos usar um atalho matemático para PV de uma anuidade ordinária.

onde C = fluxo de caixa por período i = taxa de juros n = número de pagamentos

A fórmula nos fornece o PV em algumas etapas fáceis. Aqui está o cálculo da anuidade representada no diagrama para o Exemplo 2:

= $ 1000 * [4. 33] = $ 4329. 48

Cálculo do Valor Futuro de uma Anuidade Devida

Quando você está recebendo ou pagando fluxos de caixa por uma anuidade devida, seu cronograma de fluxo de caixa apareceria da seguinte forma:

Como cada pagamento na série é feito um período mais cedo, precisamos descontar o período da fórmula um de volta. Uma pequena modificação da fórmula de rendimento do FV de um ordinário explica os pagamentos que ocorrem no início de cada período. No Exemplo 3, vamos ilustrar por que essa modificação é necessária quando cada pagamento de $ 1 000 é feito no início do período e não no final (a taxa de juros ainda é de 5%):

Observe que quando os pagamentos são feitos no início do período, cada montante é mantido mais longo no final do período. Por exemplo, se os $ 1 000 foram investidos em 1º de janeiro em vez de 31 de dezembro de cada ano, o último pagamento antes de valorar nosso investimento no final de cinco anos (em 31 de dezembro) teria sido feito um ano antes (1 de janeiro) em vez do mesmo dia em que é avaliado. O valor futuro da fórmula de anuidade seria então lido:

onde C = Fluxo de caixa por período i = taxa de juros n = número de pagamentos

Portanto,

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = $ 5801. 91

Cálculo do valor atual de uma dívida de anuidade

Para o valor presente de uma fórmula devida a anuidade, precisamos descontar o prazo da fórmula um como os pagamentos são mantidos por um curto período de tempo. Ao calcular o valor presente, assumimos que o primeiro pagamento foi feito hoje.

Podemos usar esta fórmula para calcular o valor atual de seus futuros pagamentos de aluguel, conforme especificado em uma locação que você assina com seu senhorio. Digamos para o Exemplo 4 que você efetua seu primeiro pagamento de aluguel no início do mês e está avaliando o valor presente do seu contrato de cinco meses nesse mesmo dia. O seu cálculo do valor presente funcionaria da seguinte forma:

Claro, podemos usar um atalho de fórmula para calcular o valor presente de uma anuidade devida:

onde C = Fluxo de caixa por período i = taxa de juros > n = número de pagamentos Portanto,

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= $ 4545. 95 Lembre-se de que o valor presente de uma anuidade ordinária devolveu um valor de US $ 4, 329. 48. O valor presente de uma anuidade ordinária é inferior ao de uma anuidade devida porque, quanto mais atrasamos, descontamos um pagamento futuro, o menor seu valor presente - cada pagamento ou fluxo de caixa em uma anuidade ordinária ocorre um período mais para o futuro.

A linha inferior

Agora você pode ver como as anuidades afetam a forma como calcula o valor presente e futuro de qualquer quantia de dinheiro. Lembre-se de que as frequências de pagamento, ou o número de pagamentos e o momento em que esses pagamentos são feitos (seja no início ou no final de cada período de pagamento) são todas as variáveis ​​que você precisa registrar nos seus cálculos.