É bastante desafiador concordar com o preço exato de qualquer ativo negociável, mesmo hoje em dia. É por isso que os preços das ações continuam mudando constantemente. Na realidade, a empresa dificilmente altera sua avaliação no dia-a-dia, mas o preço das ações e sua valoração mudam a cada segundo. Isso mostra dificilmente alcançar um consenso sobre o preço atual de qualquer bem negociável, o que leva a oportunidades de arbitragem. No entanto, essas oportunidades de arbitragem são de curta duração.

Tudo se resume à avaliação atual - qual é o preço atual atual hoje para uma recompensa futura esperada?

Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, os ativos com estruturas idênticas de remuneração devem ter o mesmo preço. A avaliação das opções tem sido uma tarefa desafiadora e observam-se altas variações nos preços, levando a oportunidades de arbitragem. A Black-Scholes continua a ser um dos modelos mais populares utilizados para opções de preços, mas tem suas próprias limitações. (Para mais informações, consulte: Opções de preço ). O modelo de preço da opção Binomial é outro método popular usado para opções de preços. Este artigo discute alguns exemplos abrangentes passo a passo e explica o conceito subjacente de risco neutro na aplicação deste modelo. (Para leitura relacionada, veja: Romper o modelo binomial para valorar uma opção ).

Este artigo assume a familiaridade do usuário com opções e conceitos e termos relacionados.

Suponha que exista uma opção de compra em um estoque específico cujo preço de mercado atual seja de US $ 100. A opção ATM tem um preço de exercício de US $ 100 com prazo até o final de um ano. Existem dois comerciantes, Peter e Paul, que ambos concordam que o preço das ações aumentará para US $ 110 ou cairá para US $ 90 no prazo de um ano. Ambos concordam com os níveis esperados de preços em um determinado período de um ano, mas não concordam com a probabilidade do movimento para cima (e para baixo). Peter acredita que a probabilidade de o preço das ações chegar a US $ 110 é de 60%, enquanto o Paul acredita que é de 40%.

Com base no acima, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra?

Possivelmente Peter, como ele espera uma alta probabilidade do movimento para cima.

Vamos ver os cálculos para verificar e entender isso. Os dois ativos em que depende a avaliação são a opção de compra e o estoque subjacente. Existe um acordo entre os participantes de que o preço das ações subjacentes pode passar de US $ 100 para US $ 110 ou US $ 90 no prazo de um ano, e não há outros movimentos de preços possíveis.

Em um mundo livre de arbitragem, se devemos criar um portfólio composto por esses dois ativos (opção de compra e ações subjacentes), de modo que, independentemente de onde o preço subjacente (110 ou 90 dólares), o retorno líquido da carteira sempre continua o mesmo.Suponhamos que nós compramos "d" ações de opções subjacentes e de uma chamada curta para criar esse portfólio.

Se o preço for de US $ 110, nossas ações valerão US $ 110 * d e perderemos $ 10 no pagamento de chamadas curtas. O valor líquido de nossa carteira será (110d-10).

Se o preço cair para US $ 90, nossas ações valerão US $ 90 * d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido de nossa carteira será (90d).

Se queremos que o valor de nossa carteira permaneça o mesmo, independentemente de onde quer que o preço das ações subjacentes, o nosso valor de carteira deve permanecer o mesmo em ambos os casos, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. se comprarmos metade de uma parcela (assumindo que as compras fracionárias são possíveis), conseguiremos criar um portfólio de forma que seu valor permaneça o mesmo nos dois estados possíveis dentro do prazo determinado de um ano. (ponto 1)

Este valor de carteira, indicado por (90d) ou (110d -10) = 45, é um ano abaixo da linha. Para calcular o valor presente, pode ser descontado pela taxa de retorno livre de risco (assumindo 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 ano) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Valor presente da carteira

Como atualmente, a carteira é composta por ½ ação do estoque subjacente ( com preço de mercado $ 100) e 1 chamada curta, deve ser igual ao valor presente calculado acima i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * preço de chamada = 42. 85

=> Preço de chamada = $ 7. 14 i. e. o preço da chamada a partir de hoje.

Uma vez que isso se baseia na suposição acima de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente de qual o preço subjacente (ponto 1 acima), a probabilidade de mover para cima ou para baixo não desempenha qualquer função aqui. O portfólio permanece livre de riscos, independentemente dos movimentos de preços subjacentes.

Em ambos os casos (assumido como sendo um movimento para $ 110 e para baixo para $ 90), nossa carteira é neutra ao risco e ganha a taxa de retorno livre de risco.

Portanto, ambos os comerciantes, Peter e Paul, estarão dispostos a pagar os mesmos $ 7. 14 para esta opção de chamada, independentemente de suas próprias percepções diferentes das probabilidades de movimentos ascendentes (60% e 40%). Suas probabilidades individualmente percebidas não desempenham nenhum papel na avaliação de opções, como se vê a partir do exemplo acima.

Se supor que as probabilidades individuais importam, então existiriam oportunidades de arbitragem. No mundo real, tais oportunidades de arbitragem existem com menores diferenciais de preços e desaparecem em curto prazo.

Mas onde é a volatilidade muito alta em todos esses cálculos, que é um fator importante (e mais sensível) que afeta o preço das opções?

A volatilidade já está incluída pela natureza da definição do problema. Lembre-se de que estamos assumindo dois (e apenas dois - e, portanto, o nome "binômico") dos níveis de preços (US $ 110 e US $ 90). A volatilidade está implícita nessa suposição e, portanto, incluída automaticamente - 10% de qualquer maneira (neste exemplo).

Agora vamos fazer uma verificação de sanidade para ver se nossa abordagem é correta e coerente com os preços comummente usados ​​da Black-Scholes. (Consulte: O modelo de avaliação da opção Black-Scholes ).

Aqui estão as capturas de tela dos resultados das calculadoras de opções (cortesia da OIC), que se aproxima com nosso valor calculado.

Infelizmente, o mundo real não é tão simples como "apenas dois estados". Existem vários níveis de preços que podem ser alcançados pelo estoque até o momento de expirar.

É possível incluir todos esses níveis múltiplos em nosso modelo de precificação binomial, que é restrito a apenas dois níveis? Sim, é muito possível, e para entender, vamos entrar em algumas matemáticas simples.

Algumas etapas de cálculo intermediárias são ignoradas para mantê-la resumida e focada nos resultados.

Para avançar, vamos generalizar este problema e solução:

'X' é o preço de mercado atual do estoque e 'X * u' e 'X * d' são os preços futuros para movimentos para cima e para baixo 't ' anos depois. Factor 'u' será maior do que 1, pois indica movimento ascendente e 'd' ficará entre 0 e 1. Para o exemplo acima, u = 1. 1 e d = 0. 9.

As recompensas da opção de chamada são 'P _acima ' e 'P _dn ' para movimentos para cima e para baixo, no momento do caducidade.

Se nós construímos um portfólio de ações 's' compradas hoje e uma curta opção de chamada, então, depois do tempo 't':

Valor do portfólio em caso de movimento ascendente = s * X * u - P

Valor de carteira em caso de queda = s * X * d - P _dn

Para avaliação semelhante em ambos os casos de movimento de preço,

=> s * X * u - P < _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

acima _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = o número no. de ações para comprar para portfólio livre de risco} O valor futuro da carteira no final de 't' anos será

Em caso de movimento = s * X * u - P

acima _{= (P} para _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} acima _{O valor atual de acima pode ser obtido por desconto com taxa de retorno livre de risco:}

Isso deve corresponder à participação de carteira de ações 's' a preço X e valor de chamada curto 'c' i. e. A manutenção atual de (s * X - c) deve ser igual à acima. Resolver para c finalmente dá c como:

SE CURTAMOS O PREMIUM DE CHAMADA DEVEM SER ADICIONADOS À PORTFOLIO NÃO SUBTRACÇÃO.

Outra maneira de escrever a equação acima é reorganizando-a da seguinte forma:

Tomando q como

, a equação acima se torna

Reorganizando a equação em termos de "q" ofereceu uma nova perspectiva.

"q" agora pode ser interpretado como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como "q" está associado a P

acima _{e "1-q" está associado a P} dn _{). Em geral, a equação acima representa o preço atual da opção i. e. o valor descontado da sua recompensa no vencimento.} Como esta probabilidade "q" é diferente da probabilidade de mover para cima ou para baixo do subjacente?

O valor do preço da ação no tempo t = q * X * u + (1-q) * X * d

Substituindo o valor de q e rearranjando, o preço da ação no tempo t chega a

i . e. neste mundo assumido de dois estados, o preço do estoque simplesmente aumenta por taxa de retorno livre de risco, i. e. exatamente como um recurso livre de risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco.Todos os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, e isso constitui o modelo de risco neutro.

A probabilidade "q" e "(1-q)" são conhecidas como probabilidades de risco neutro e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação de risco neutro.

O exemplo acima tem um requisito importante: a futura estrutura de recompensa é necessária com precisão (nível $ 110 e $ 90). Na vida real, a clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível; Em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em vários níveis.

Vamos expandir o exemplo mais. Suponha que os níveis de preços em duas etapas são possíveis. Conhecemos os resultados finais do segundo passo e precisamos valorar a opção hoje (ou seja, na etapa inicial)

Trabalhando para trás, a avaliação do primeiro passo intermediário (em t = 1) pode ser feita usando os ganhos finais no segundo passo (t = 2) e, em seguida, usando essa avaliação calculada do primeiro passo (t = 1), a avaliação atual (t = 0) pode ser alcançada usando os cálculos acima.

Para obter o preço da opção no nº. 2, recompensas em 4 e 5 são usadas. Para obter preços para o número. 3, recompensas em 5 e 6 são usadas. Finalmente, os pagamentos calculados em 2 e 3 são usados ​​para obter preços no nº. 1.

Por favor, note que nosso exemplo assume o mesmo fator para mover para cima (e para baixo) em ambos os passos - você (e d) são aplicados de forma combinada.

Aqui está um exemplo de trabalho com cálculos:

Assuma uma opção de venda com preço de exercício $ 110 atualmente negociando em US $ 100 e expirando em um ano. A taxa anual sem risco é de 5%. O preço deverá aumentar 20% e diminuir 15% a cada seis meses.

Vamos estruturar o problema:

Aqui, u = 1. 2 e d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

usando a fórmula derivada acima de

, obtemos q = 0. 35802832

valor da opção put no ponto 2,

Na condição P

upup _{, o subjacente será = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 levando a P} upup _{= zero} Na condição P

updn _{, o subjacente será = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102, levando à condição de P} updn _{= $ 8} Em P

dndn _{, subjacente será = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 levando a P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} Similarmente, p

3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{E, portanto, valor da opção de colocação, p} 1

= 0. 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741+ (1-0, 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} Da mesma forma, os modelos binomiais permitem quebrar a duração da opção inteira para aprimorar vários passos / níveis refinados. Usando programas de computador ou planilhas pode-se trabalhar para trás um passo de cada vez, para obter o valor atual da opção desejada. Vamos concluir com mais um exemplo envolvendo três etapas para avaliação de opção binomial:

Suponha uma opção de venda de tipo europeu, com um prazo de vencimento de 9 meses com preço de exercício de US $ 12 e preço subjacente atual em US $ 10. Assuma taxa livre de risco de 5% para todos os períodos. Assuma cada 3 meses, o preço subjacente pode mover-se 20% para cima ou para baixo, dando-nos u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. Árvore binomial de 25 e 3 etapas.

Os números em vermelho indicam os preços subjacentes, enquanto os que estão em azul indicam a opção de recompensa da venda.

Probabilidade neutra de risco q calcula para 0. 531446.

Usando o valor acima de q e valores de retorno em t = 9 meses, os valores correspondentes em t = 6 meses são calculados como:

Além disso, usando estes valores calculados em t = 6, valores em t = 3 e, em seguida, em t = 0 são:

dando o valor atual da opção put como $ 2. 18, o que é bastante próximo do calculado usando o modelo Black-Scholes ($ 2. 3)

A linha inferior

Embora o uso de programas de computador facilite muito esses cálculos intensivos, continua a prever os preços futuros uma grande limitação de modelos binomiais para preço de opção. Quanto mais finos os intervalos de tempo, mais difícil consegue prever com precisão os retornos no final de cada período. No entanto, a flexibilidade para incorporar mudanças como esperado em diferentes períodos de tempo é uma vantagem acrescida, o que torna adequado para o preço das opções americanas, incluindo avaliações de exercícios antecipados. Os valores calculados usando o modelo binomial coincidem com os calculados a partir de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais para o preço das opções. Os modelos de preços binomiais podem ser desenvolvidos de acordo com a preferência de um comerciante e funcionam como uma alternativa à Black-Scholes.